Giáo dục

Cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích – Toán lớp 9

Để giải phương trình bậc 4 trùng phương chúng ta có 2 phương pháp để giải, cách thứ nhất là đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc 2, cách thứ hai là đưa về phương trình tích.

Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax4 + bx2 + c = 0) và phương trình tích cụ thể như  thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

Bạn đang xem bài: Cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích – Toán lớp 9

° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.

* Phương pháp giải:

– Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,…) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.

– Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

* Ví dụ 1: Giải phương trình

a) (x – 3)(x2 – 3x + 2) = 0

b) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0

° Lời giải:

a) (x – 3)(x2 – 3x + 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x2 – 3x + 2 = 0

+) x – 3 = 0 ⇔ x1 = 3

+) x2 – 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x2 = 1; x3 = c/a = 2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 = 3; x2 = 1; x3 = 2.

b) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0

⇔ x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0

⇔ (x + 3)(x2 – 2) = 0

⇔ x + 3 = 0 hoặc x2 – 2 = 0

+) x + 3 = 0 ⇔ x1 = -3

+) x2 – 2 = 0 ⇔  ; 1590832623mp3hgtz2g8 1623381028 1624326489

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

hayhochoi

* Ví dụ 2 (Bài 36 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình

a) (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;

b) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0.

° Lời giải:

a) (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0;

⇔ 3x2 – 5x + 1 = 0 hoặc x2 – 4 = 0

+)Giải: 3x2 – 5x + 1 = 0

– Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = (-5)2 – 4.3 = 13 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm: 

+)Giải: x2 – 4 = 0

⇔ (x – 2)(x + 2) = 0

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:

; x3 = 2; x4 = -2

– Hay tập nghiệm của phương trình là: 159083262921m9j6j7fg 1623381029 1624326496

b) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0

⇔ (2x2 + x – 4 – 2x + 1)(2x2 + x – 4 + 2x – 1) = 0

⇔ (2x2 – x – 3)(2x2 + 3x – 5) = 0

⇔ 2x2 – x – 3 = 0 hoặc 2x2 + 3x – 5 = 0

+) Giải: 2x2 – x – 3 = 0

– Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.

+) Giải: 2x2 + 3x – 5 = 0

– Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.

• Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1 = -1; x2 =  3/2; x3 = 1; x4 = -5/2.

– Hay tập nghiệm của phương trình là: 1590832631jgslo3rg6n 1623381029 1624326496

° Cách giải phương trình trùng phương ax4 +bx2 + c = 0 (a≠0).

* Phương pháp giải 1: Đặt ẩn phụ cho pt: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0) (1)

• Đặt t = x2 (t≥0), khi đó ta được phương trình at2 + bt + c = 0 (2)

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.

– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.

• Cụ thể như sau:

– Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 1590828958givknm81st 1623381030 1624326497

– Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 01590828959lzomnfypjq 1623381030 1624326497

– Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có một một nghiệm kép dương hoặc 2 nghiệm trái dấu ⇔15908289616dduupqafi 1623381030 1624326497 hoặc  ⇔ 15908289616dduupqafi 1623381030 1624326497 hoặc 1623381031agau38pjse 1624326498

– Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm  hoặc 15908289682z97ml40dr 1623381032 1624326499

– Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm 15908289701ossklq3te 1623381032 1624326499 hoặc 15908289719sh9q1eg80 1623381032 1624326499

– Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.

* Phương pháp giải 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.

– Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.

* Ví dụ 1(Bài 34 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương:

a) x4 – 5x2 + 4 = 0

b) 2x4 – 3x2 – 2 = 0

c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0

° Lời giải:

a) x4 – 5x2 + 4 = 0  (1)

– Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : t2 – 5t + 4 = 0 (2)

– Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 4

– Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;

+ Với t = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.

b) 2x4 – 3x2 – 2 = 0; (1)

– Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 2t2 – 3t – 2 = 0 (2)

– Giải (2) : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2 ⇒ Δ = (-3)2 – 4.2.(-2) = 25 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm: 1590832632yoie97nw4c 1623381032 1624326499 1590832634lsi4opeo4y 1623381033 1624326500

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t1 = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;

– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.

c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0 (1)

– Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 3t2 + 10t + 3 = 0 (2)

– Giải (2): Có a = 3; b’ = 5; c = 3 ⇒ Δ’ = 52 – 3.3 = 16 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1590832635qeqilgb9tm 1623381033 1624326500 

– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t1 = -1/3 <0 và t2 = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương

a) 9x4 – 10x2 + 1 = 0

b) 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2

c) 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0

d) 

° Lời giải:

a) 9x4 – 10x2 + 1 = 0 (1)

– Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 9t2 – 10t + 1 = 0 (2)

+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0

⇒ Phương trình (2) có nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 1/9.

– Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.

+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.

+ Với t = 1/9 ⇒ x2 = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3.

• Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm 1590832640y361uq4bq0 1623381034 1624326501

b) 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2

⇔ 5x4 + 2x2 – 16 – 10 + x2 = 0

⇔ 5x4 + 3x2 – 26 = 0 (1)

– Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó (1) trở thành : 5t2 + 3t – 26 = 0 (2)

+ Giải (2): Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26 ⇒ Δ = 32 – 4.5.(-26) = 529 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1590832641o23ykkvh1g 1623381034 1624326501

– Đối chiếu điều kiện chỉ có t1 thỏa điều kiện, nên:

+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.

c) 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 (1)

– Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

– Khi đó, (1) trở thành : 0,3t2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)

+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = -1 và t2 = -c/a = -5.

– Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.

⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

d)  (*)

– Điều kiện xác định: x ≠ 0.

– Quy đồng, khử mẫu ta được:

(*) ⇔ 2x4 + x2 = 1 – 4x2

⇔ 2x4 + x2 + 4x2 – 1 = 0

⇔ 2x4 + 5x2 – 1 = 0 (1)

– Đặt t = x2, điều kiện t > 0 (do x ≠ 0).

– Khi đó (1) trở thành : 2t2 + 5t – 1 = 0 (2)

+ Giải (2): Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1 ⇒ Δ = 52 – 4.2.(-1) = 33 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 1590832647i9r9gz5lda 1623381035 1624326502

– Đối chiếu với điều kiện t >0 thấy có nghiệm t1 thỏa mãn, nên:

+ Với 1590832649t4e8obre0w 1623381035 1624326502

• Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm1590832650ti42pwrfjp 1623381036 1624326503

° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương

* Bài 1: Giải các phương trình sau

a) x4 – 22x2 – 8x +77 = 0

b) x4 – 6x3 + 8x2 + 2x – 1 = 0

c) x4 + 2x3 – 5x2 + 6x – 3 = 0

 

* Bài 2: Giải các phương trình sau

a) 5x4 + 3x2 – 2 = 0

b) x4 – 5x2 + 6 = 0

c) 2x4 – 3x2 – 2 = 0

Hy vọng với bài viết về cách giải phương trình trùng phương, phương trình tích ở trên giúp các em hiểu và vận dụng tốt để giải các dạng toán tương tự, chúc các em học tập tốt.

Bản quyền bài viết thuộc Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: https://tmdl.edu.vn/cach-giai-phuong-trinh-trung-phuong-phuong-trinh-tich/

Trang chủ: tmdl.edu.vn
Danh mục bài: Giáo dục

Lương Sinh

Lương Sinh là một tác giả đầy nhiệt huyết trong lĩnh vực giáo dục, ngoại ngữ và kiến thức. Với hơn 10 năm kinh nghiệm làm việc trong ngành, cô đã tích lũy được rất nhiều kiến thức và kỹ năng quan trọng. Với tình yêu với ngôn ngữ và mong muốn chia sẻ kiến thức, Lương Sinh đã quyết định sáng lập blog tmdl.edu.vn. Trang web này không chỉ là nơi chia sẻ những kinh nghiệm và kiến thức cá nhân của cô, mà còn là một nguồn thông tin hữu ích cho những người quan tâm đến giáo dục, kiến thức và ngoại ngữ. Đặc biệt là tiếng Anh và tiếng Trung Quốc.
Back to top button