Giáo dục

Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6

Các dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật là một trong những chuyên đề có khá nhiều bài tập được gọi là “khó nhằn” và gây ‘căng thẳng đầu óc’ cho các bạn học sinh lớp 6, đây có thể coi là dạng toán dành cho học sinh khá giỏi.

Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh “giải tỏa được căng thẳng” khi gặp các dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và cách giải, sau đó vận dụng làm các bài tập.

Bạn đang xem bài: Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6

I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp.

– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

Sn = a1 + a2 + . . . + an (*)

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) = 1+ 3 = 4 = 22

Thử với n= 3,  ta có: S3 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32

…   …   …

– Ta dự đoán: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n

• Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n(*)

Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:

Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2

Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2

1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2+ (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒  1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2

• Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

1) 1568138637ckd415edmj 1633221181 3

2) 15681386385whxxojm32 1633221181 1

3) 1569204220a5im89yvj6 1633221181 1

4) 1568138640g0lojj373e 1633221182 1

 

II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp

– Giả sử cần tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

 a1 = b1 – b2

 a2 = b2 – b3

 …   …   …

 an = bn – bn+1

⇒ Khi đó ta có: Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3)+…+(bn – bn+1) = b1 – bn+1

* Ví dụ 1: Tính tổng:

1568138641ptb87i65gc 1633221182 1

° Hướng dẫn: – Ta có:

 15681386437vqppcmcgz 1633221182 1   1568138644uc33qo79ii 1633221182 1

 1568138646i546pilsa7 1633221182 1 …; 156813864780vz02jdqn 1633221183 1

15681386499cbdf2tba6 1633221184 11568138650d4fjc6yoos 1633221185 1

Dạng tổng quát: 

15681386520dt2r853kr 1633221185 115681386532b2zfqx3jc 1633221186 1

* Ví dụ 2: Tính tổng:

 15681386555hsakqwt5q 1633221186 1

° Hướng dẫn: – Ta có:

15681386578l8o3g5ick 1633221187 1 156813865812z89j4w2e 1633221187 1 ;…; 1568138660d20dd06mdx 1633221189 1

1568138661bcnds2r7yn 1633221189 11568138663315102pt8w 1633221189 1

1568138664ow7bw822nv 1633221189 1

1568138666by0vs6xbxe 1633221190 1

* Ví dụ 3: Tính tổng:

 1568173599sw7cq68daa 1633221190 1

° Hướng dẫn: – Ta có:

 1568173601jstq5mocxe 1633221190 1

 1568173602bkowpqn4q1 1633221190 1

 1568173604rvlrkjbslb 1633221190 1

 

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299)

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1+ 2(S – 2100) = 1+ 2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

 2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

 2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) – (1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ S = 2101 – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

 156817360551cu5y377r 1633221191 1

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: 15681736076wkuzeiyml 1633221191 1

* Ví dụ 2: Tính:  

 S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

° Hướng dẫn:– Ta có:

 2S = 2(1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S + S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) + (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

⇔ 3S = 2101 + 1.

15681736093svofg8v7x 1633221191 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

1568173610nqc3ipt5pf 1633221192 1

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: 1568173612xoezzb4243 1633221193 1

* Ví dụ 3: Tính tổng:

 S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 

⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) – (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

1568176793gvx5fvzsrw 1633221193 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

15681767940zjebycx9b 1633221193 1

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

 1568176796eun64lbt3h 1633221194 1

* Ví dụ 4: Tính:

 S = 1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299 (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

 23.S =  23.(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

 8S + S = (23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102)+(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 15681832889ncn9uto0i 1633221194 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau: 

1568183289xavjpuso09 1633221194 1

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được: 

 15681832918ih3jngxp3 1633221195 1

 

III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều.

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] + 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Tổng = [(số đầu + số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

 S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + … + 59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

 S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu: 1568189000klbx7jimjx 1633221195 1

• Tính chất:

1568189001ivc9kpny5v 1633221195 1

1568189004goejnl91yb 1633221195 1

* Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: 1568189006lanhtuocgz 1633221195 1

– Mặt khác, lại có:

  1568189008dbz5kpykxs 1633221196 1 (theo PP quy nạp ở mục I).

  1568189010j8or344zqg 1633221196 1 (theo PP quy nạp ở mục I)

156818901296ody1593t 1633221196 1

V. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

 a) S = 6 + 62 + 63 +…+ 699 + 6100

 b) S = 5 + 11 + 17 +…+ 95 + 101

 c) 1568189013faaokhqbft 1633221196 1

 d) 1568189015beh6m7mazm 1633221196 1

 

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 + 4.7 + 7.10 +…+(3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b) 15681893038wz42ry3dj 1633221197 1

Hy vọng với bài viết hệ thống lại Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt !

Các dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Các dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật là một trong những chuyên đề có khá nhiều bài tập được gọi là “khó nhằn” và gây ‘căng thẳng đầu óc’ cho các bạn học sinh lớp 6, đây có thể coi là dạng toán dành cho học sinh khá giỏi. Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh “giải tỏa được căng thẳng” khi gặp các dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và cách giải, sau đó vận dụng làm các bài tập. I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp. – Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:  Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh. * Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) ° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp) – Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1  Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) = 1+ 3 = 4 = 22  Thử với n= 3,  ta có: S3 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32  …   …   …  – Ta dự đoán: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2  • Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 (*)  Với n = 1; S1 = 1 (đúng)  Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:  Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)  Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:  Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2   Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.  1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2  1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2+ (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế). Từ đó ⇒  1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 • Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học: 1) 2)  3)  4)  II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp – Giả sử cần tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:  a1 = b1 – b2  a2 = b2 – b3  …   …   …  an = bn – bn+1 ⇒ Khi đó ta có: Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3)+…+(bn – bn+1) = b1 – bn+1 * Ví dụ 1: Tính tổng: ° Hướng dẫn: – Ta có:        …;  ⇒ • Dạng tổng quát:  * Ví dụ 2: Tính tổng:   ° Hướng dẫn: – Ta có:   ;…;  * Ví dụ 3: Tính tổng:   ° Hướng dẫn: – Ta có:       III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm • Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên * Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*) ° Hướng dẫn: * Cách 1: Ta viết lại S như sau:  S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299)  S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 – 2100) ⇒ S = 1+ 2(S – 2100) = 1+ 2S – 2101 ⇒ S = 2101 – 1 * Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:  2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100) ⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**) – Lấy (**) trừ đi (*) ta được:  2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) – (1 + 2 + 22 + . . . + 2100) ⇔ S = 2101 – 1. • Tổng quát cho dạng toán này như sau:    Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được:  * Ví dụ 2: Tính:    S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100 ° Hướng dẫn:- Ta có:  2S = 2(1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100) ⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101 ⇔ 2S + S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) + (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)  ⇔ 3S = 2101 + 1. • Tổng quát cho dạng toán này như sau:  Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: * Ví dụ 3: Tính tổng:  S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*) ° Hướng dẫn: – Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp. – Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp. S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100  ⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100) ⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102  (**) – Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được: 9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) – (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100) ⇔ 8S = 3102 – 1 • Tổng quát cho dạng toán này như sau:  Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:    * Ví dụ 4: Tính:  S = 1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299 (*) ° Hướng dẫn: – Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:  23.S =  23.(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299) ⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102 (**) – Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:  8S + S = (23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102)+(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299) ⇔ 9S = 1 – 2102  • Tổng quát cho dạng toán này như sau:  Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:    III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều. • Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau: – Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:  Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] + 1 – Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:  Tổng = [(số đầu + số cuối).(số số hạng)]:2 * Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39 ° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.  S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400. * Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + … + 59 ° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.  S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610. IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết • Ký hiệu:  • Tính chất:     * Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n(n+1) ° Hướng dẫn: – Ta có:  – Mặt khác, lại có:    (theo PP quy nạp ở mục I).    (theo PP quy nạp ở mục I) V. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228 Bài tập 2: Tính các tổng sau:  a) S = 6 + 62 + 63 +…+ 699 + 6100  b) S = 5 + 11 + 17 +…+ 95 + 101  c)   d)  Bài tập 3: Chứng minh a) 1.4 + 4.7 + 7.10 +…+(3n-2)(3n+1) = n(n+1)2 b)  Hy vọng với bài viết hệ thống lại Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt ! Đăng bởi: Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá Chuyên mục: Giáo Dục

Bản quyền bài viết thuộc Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: https://tmdl.edu.vn https://tmdl.edu.vn/cac-dang-toan-tinh-tong-day-so-luy-thua-co-quy-luat-va-bai-tap/

Trang chủ: tmdl.edu.vn
Danh mục bài: Giáo dục

Lương Sinh

Lương Sinh là một tác giả đầy nhiệt huyết trong lĩnh vực giáo dục, ngoại ngữ và kiến thức. Với hơn 10 năm kinh nghiệm làm việc trong ngành, cô đã tích lũy được rất nhiều kiến thức và kỹ năng quan trọng. Với tình yêu với ngôn ngữ và mong muốn chia sẻ kiến thức, Lương Sinh đã quyết định sáng lập blog tmdl.edu.vn. Trang web này không chỉ là nơi chia sẻ những kinh nghiệm và kiến thức cá nhân của cô, mà còn là một nguồn thông tin hữu ích cho những người quan tâm đến giáo dục, kiến thức và ngoại ngữ. Đặc biệt là tiếng Anh và tiếng Trung Quốc.
Back to top button