Bài tập con lắc lò xo, các dạng toán và cách giải – Vật lý 12 chuyên đề - Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá

Bài tập con lắc lò xo, các dạng toán và cách giải. Vật lý lớp 12 với chương đầu tiên về Dao động điều hòa và nội dung con lắc lò xo là khá quan trọng. Đây là nội dung thường xuất hiện trong kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia và nhiều bạn không được điểm tối đa vì phần con lắc lò xo vì có những dạng bài tập tương đối khó.

Vậy con lắc lò xo có các dạng bài tập nào? cách giải bài tập với con lắc lò xo nằm ngang hay thẳng đứng như thế nào? chúng ta cùng tham khảo qua bài viết dưới đây và làm một số bài tập minh họa con lắc lò xo để rèn kỹ năng giải bài tập dạng này một cách nhuần nhuyễn.

Bạn đang xem bài: Bài tập con lắc lò xo, các dạng toán và cách giải – Vật lý 12 chuyên đề

* Các công thức về con lắc lò xo cần nhớ

• Tần số góc: $omega =sqrt{frac{k}{m}}=sqrt{frac{g}{Delta l_0}}=frac{2pi }{T}=2pi f$

• Chu kỳ: $T=2pi sqrt{frac{m}{k}}=2pi sqrt{frac{Delta l_0}{g}}$

• Tần số: $f=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{g}{Delta l_0}}$

Trong đó: $Delta l_0=frac{mg}{k}$ là độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng.

* Đối với bài toán gồm nhiều vật mắc vào 1 lò xo (ghép vật).

• Lò xo K gắn vật nặng m₁ thì dao động với chu kì T₁. Còn khi gắn vật nặng m₂ thì dao động với chu kì T₂. Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m₁ + m₂ là:

$T^2=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}$

• Tổng quát:

+ Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m₁ + m₂ + … + m_n là:

$T^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+...+T_{n}^{2}$

+ Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m₁ + b.m₂ là:

$T^2=aT_{1}^{2}+bT_{2}^{2}$

– Lò xo K gắn vật nặng m₁ thì dao động với chu kì f₁. Còn khi gắn vật nặng m₂ thì dao động với chu kì f₂. Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m₁ + m₂ là:

$f=frac{f_1f_2}{sqrt{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}$

• Tổng quát:

+ Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m₁ + m₂ + … + m_n là:

$frac{1}{f^{2}}=frac{1}{f_{1}^{2}}+frac{1}{f_{2}^{2}}+...+frac{1}{f_{n}^{2}}$

+ Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m₁ + b.m₂ là:

$frac{1}{f^2}=frac{a^{2}}{f_{1}^{2}}+frac{b^2}{f_{2}^{2}}$

* Đối với bài toán cắt ghép lò xo.

• Cắt lò xo:

– Cho lò xo ko có độ dài l_o, cắt lò xo thành n đoạn, tìm độ cứng của mỗi đoạn. Ta có công thức tổng quát sau:

1634786336u51iob817v

⇒ Lò xo có độ dài tăng bao nhiêu lần thì độ cứng giảm đi bấy nhiêu lần và ngược lại.

• Ghép lò xo:

+ Trường hợp ghép nối tiếp:

Cho n lò xo nối tiếp nhau, có độ dài và độ cứng lần lượt: (l₁, k₁), (l₂, k₂), (l₃, k₃),… ta được một hệ lò xo (l, k), trong đó:

1600678466zdg1jv8plp 1600699700 1634786336

$frac{1}{k}=frac{1}{k_1}+frac{1}{k_2}+frac{1}{k_3}+...$

• Hệ quả:

– Một lò xo (l_o, k_o) cắt ra thành các đoạn (l₁, k₁), (l₂, k₂), (l₃, k₃),… Ta được hệ thức: l_ok_o = l₁k₁ = l₂k₂ l₃k₃ = …

– Ghép nối tiếp độ cứng giảm. Lò xo càng ngắn càng cứng, càng dài càng mềm.

– Vật m gắn vào lò xo 1 có độ cứng k₁ thì dao động với chu kỳ T₁, gắn vật đó vào lò xo 2 có độ cứng k₂ thì khi gắn vật m vào 2 lò xo trên ghép nối tiếp thì:

$T^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}$

$Rightarrow f=frac{f_{1}f_{2}}{sqrt{f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}$

+ Trường hợp ghép song song:

– Cho 2 lò xo có độ cứng lần lượt là k₁, k₂ ghép song với nhau. Khi đó, ta được một hệ có độ cứng

→ Ghép song song độ cứng tăng.

– Vật m gắn vào lò xo 1 có độ cứng k₁ thì dao động với chu kỳ T₁, gắn vật đó vào lò xo 2 có độ cứng k₂ thì khi gắn vật m vào 2 lò xo trên ghép song song thì:

$f^{2}=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}$

$Rightarrow T=frac{T_{1}T_{2}}{sqrt{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}}$

* Các dạng bài tập về Con lắc lò xo

° Dạng 1: Tính chu kỳ và tần số của con lắc lò xo

* Bài tập 1: Một con lắc lò x₀ nằm ngang có độ cứng k = 100 N/m được gắn vào vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg. Kích thích cho vật dao động điều hòa, xác định chu kì của con lắc lò x₀.

Xem lời giải

• Đề bài: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 100 N/m được gắn vào vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg. Kích thích cho vật dao động điều hòa, xác định chu kì của con lắc lò xo? Lấy π² = 10

• Lời giải:

– Tóm tắt, đề cho: m = 100g = 0,1(kg); k=100(N/m)

– Ta có: $T=2pi sqrt{frac{m}{k}}=2pi sqrt{frac{0,1}{100}}=2(s)$

→ Tần số của con lắc lò xo là: T = 2(s).

* Bài tập 2: Một con lắc lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng là K, lò xo treo thẳng đứng, bên dưới treo vật nặng có khối lượng m. Ta thấy ở vị trí cân bằng lò xo giãn ra một đoạn 16cm. Kích thích cho vật dao động điều hòa. Xác định tần số của con lắc lò xo. Cho g = π²(m/s²).

Xem lời giải

• Đề bài: Một con lắc lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng là K, lò xo treo thẳng đứng, bên dưới treo vật nặng có khối lượng m. Ta thấy ở vị trí cân bằng lò xo giãn ra một đoạn 16cm. Kích thích cho vật dao động điều hòa. Xác định tần số của con lắc lò xo. Cho g = π²(m/s²).

• Lời giải:

– Tóm tắt, đề cho: Δl = 16(cm) – 0,16(m). g = π²(m/s²)

– Ta có: $f=frac{1}{2pi }sqrt{frac{g}{Delta l}}= frac{1}{2pi }sqrt{frac{pi ^2}{0,16}}= frac{1}{2pi }.frac{pi }{0,4}=1,25(Hz)$

→ Tần số của con lắc lò xo là: f = 1,25(Hz).

* Bài tập 3: Một con lắc lò xo có độ cứng là K, Một đầu gắn cố định, một đầu gắn với vật nặng có khối lượng m. Kích thích cho vật dao động, nó dao động điều hòa với chu kỳ là T. Hỏi nếu tăng gấp đôi khối lượng của vật và giảm độ cứng đi 2 lần thì chu kỳ của con lắc lò xo sẽ thay đổi như thế nào?

Xem lời giải

• Đề bài: Một con lắc lò xo có độ cứng là K, Một đầu gắn cố định, một đầu gắn với vật nặng có khối lượng m. Kích thích cho vật dao động, nó dao động điều hòa với chu kỳ là T. Hỏi nếu tăng gấp đôi khối lượng của vật và giảm độ cứng đi 2 lần thì chu kỳ của con lắc lò xo sẽ thay đổi như thế nào?

• Lời giải:

– Tóm tắt, đề cho: m’ = 2m; k’ = k/2;

– Giả sử chu kỳ ban đầu của con lắc lò xo là: $T=2pi sqrt{frac{m}{k}}$

– Gọi T’ là chu kỳ của con lắc sau khi thay đổi khối lượng và độ cứng của lò xo thì: $T'=2pi sqrt{frac{m'}{k'}}=2pi sqrt{frac{2m}{frac{k}{2}}}=2.left (2pi sqrt{frac{m}{k}} right )=2T$

→ Chu kỳ con lắc sẽ tăng lên 2 lần. T’ = 2T

* Bài tập 4: Một lò xo có độ cứng là K. Khi gắn vật m₁ vào lò xo và cho dao động thì chu kỳ dao động là 0,5s. Khi gắn vật có khối lượng m₂ vào lò xo trên và kích thích cho dao động thì nó dao động với chu kỳ là 0,6s. Hỏi nếu khi gắn vật có khối lượng m = 3m₁ + 5m₂ thì nó dao động với chu kỳ là bao nhiêu?

Xem lời giải

• Đề bài: Một lò xo có độ cứng là K. Khi gắn vật m₁ vào lò xo và cho dao động thì chu kỳ dao động là 0,2s. Khi gắn vật có khối lượng m₂ vào lò xo trên và kích thích cho dao động thì nó dao động với chu kỳ là 0,3s. Hỏi nếu khi gắn vật có khối lượng m = 5m₁ + 6m₂ thì nó dao động với chu kỳ là bao nhiêu?

• Lời giải:

– Tóm tắt, T₁ = 0,2(s); T₂ = 0,3(s); m = 5m₁ + 6m₂;

– Xác định chu kỳ dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m₁ + b.m₂:

$Rightarrow T^{2}=aT_{1}^{2}+bT_{2}^{2}$

$Leftrightarrow T=sqrt{5.(0,2)^2+6.(0,3)^2}=sqrt{0,74}approx 0,86(s)$

→ Vậy chu kỳ dao động của vật là: T ≈ 0,86(s)

° Dạng 2: Viết phương trình dao động của con lắc lò xo

– Phương trình dao động của con lắc lò xo có dạng x = Acos(ωt + φ),

Như vậy để viết PT dao động của con lắc chỉ cần tìm A, ω, φ;

– Các công thức liên quan cần nhớ:

$omega =sqrt{frac{k}{m}};$ $A=sqrt{x^2+left ( frac{v}{omega } right )^2}=sqrt{frac{v^2}{omega ^2}+frac{a^2}{omega ^4}};$ $cosvarphi =frac{x_0}{A};$

* Bài tập 1: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm 1 lò xo nhẹ có độ cứng k = 40(N/m), vật nặng có khối lượng m = 100g. Từ vị trí cân bằng (VTCB) kéo vật xuống 1 đoạn để lò xo giãn 7,5(cm) rồi buông cho vật dao động điều hòa (DĐĐH). Lấy g = 10(m/s²). Chọn trục tọa độ Ox trùng với trục lò xo, gốc tọa độ O tại VTCB, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc vật qua VTCB lần đầu tiên. Viết phương trình dao động của vật?

Xem lời giải

• Đề bài: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm 1 lò xo nhẹ có độ cứng k = 40(N/m), vật nặng có khối lượng m = 100g. Từ vị trí cân bằng (VTCB) kéo vật xuống 1 đoạn để lò xo giãn 7,5(cm) rồi buông cho vật dao động điều hòa (DĐĐH). Lấy g = 10(m/s²). Chọn trục tọa độ Ox trùng với trục lò xo, gốc tọa độ O tại VTCB, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc vật qua VTCB lần đầu tiên. Viết phương trình dao động của vật?

• Lời giải:

> Đề cho: m = 100(g) = 0,1(kg); k = 40(N/m);

– Ta có: $omega =sqrt{frac{k}{m}}=sqrt{frac{40}{0,1}}=sqrt{400}=20(rad/s)$

– Khi treo vật nặng khối lượng m = 0,1(kg) thì lò xo giãn 1 đoạn:

$Delta l=frac{mg}{k}=frac{0,1.10}{40}=0,025(m)=2,5(cm)$

– Kéo lò xo giãn 7,5(cm) nên biên độ giao động của vật là: A = 7,5 – 2,5 = 5(cm).

– Phương trình dao động của con lắc lò xo có dạng: x = 5cos(20t+ φ)

– Tại thời điểm t = 0 thì x = 0 ⇔ cosφ = 0 ⇔ φ =π/2

(vì v<0 di chuyển ngược chiều dương nên sinφ>0).

→ Phương trình dao động của vật: x = 5cos(20t+ π/2).

* Bài tập 2: Con lắc lò xo dao dộng điều hòa theo phương thắng đứng với tần số 4,5 Hz.Trong quá trình dao động,chiều dài lò xo biến đổi từ 4040 cm đến 56 cm. Chọn trục 0x thắng đứng hướng lên, gốc 0 tại vị trí cân bằng, lúc t = 0 lò xo dài 52 cm và vật đi ra xa vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động của vật?

Xem lời giải

• Đề bài: Con lắc lò xo dao dộng điều hòa theo phương thắng đứng với tần số 4,5 Hz.Trong quá trình dao động,chiều dài lò xo biến đổi từ 40 cm đến 56 cm. Chọn trục 0x thắng đứng hướng lên, gốc 0 tại vị trí cân bằng, lúc t = 0 lò xo dài 52 cm và vật đi ra xa vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động của vật?

• Lời giải:

> Đề cho: f = 4,5(Hz); l_min = 40(cm); l_max = 56(cm);

– Ta có: ω = 2πf = 9π (rad/s).

– Biên độ dao động của vật là: $A=frac{l_{max}-l_{min}}{2}=frac{56-40}{2}=8(cm)$

+ Chọn trục Ox thẳng đứng có chiều dương hướng lên, gốc tại VTCB.

Lúc t = 0, lò xo dài 52 cm và vật đi ra xa VTCB tức là vật đang ở vị trí x = -A/2 = -4 cm và chuyển động hướng xuống (theo chiều âm) → φ = 2π/3.

→ Phương trình dao động của vật là: x = 8cos(9πt + 2π/3)(cm).

° Dạng 3: Tính lực đàn hồi, lực phục hồi (lực kéo) và chiều dài của con lắc lò xo

– Gọi l_o là chiều dài tự nhiên của lò xo

– l là chiều dài khi con lắc ở vị trí cân bằng: l = l_o + Δl_o

– A là biên độ của con lắc khi dao động.

– Gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống dưới.

$Rightarrow left{begin{matrix} l_{max}=l_{0}+Delta l+A l_{min}=l_{0}+Delta l-A end{matrix}right.$

• Lực đàn hồi:

F_dh = – K.Δx (N)

(Nếu xét về độ lớn của lực đàn hồi):

F_dh = K.(Δl_o + x)

F_dh(max) = K(Δl_o + A)

F_dh(min) = K(Δl_o – A) Nếu Δl_o > A

F_dh(min) = 0 khi l_o ≤ A (F_dh(min) tại vị trí lò xo không bị biến dạng)

• Lực phục hồi (lực kéo về):

F_ph = ma = m (- ω².x) = – K.x

→ Nhận xét: Trường hợp lò xo treo thẳng đứng lực đàn hồi và lực phục hồi khác nhau.

– Trong trường hợp A > Δl_o

F_nén = K(|x| – Δl_o) với |x| ≥ Δl_o.

F_nénmax = K|A-Δl_o|

• Đối với bài toán tìm thời gian lò xo bị nén, giãn trong một chu kỳ:

– Gọi φ_nén là góc nén trong một chu kỳ.

– φ_nén = 2.α Trong đó: cosα = Δl_o/A

$t_{gian}=frac{varphi _{gian}}{omega }=frac{2pi -varphi _{nen}}{omega }=T-t_{nen}$

→ Nhận xét: t_giãn = 2t_nén, t_giãn = 3t_nén, t_giãn = 5t_nén (tỉ lệ 2:3:5) thì tương ứng với 3 vị trí đặc biệt trên trục thời gian

$Delta l_0=frac{A}{2};Delta l_0=frac{Asqrt{2}}{2};Delta l_0=frac{Asqrt{3}}{2}$

– Đối với con lắc lò xo nằm ngang ta vẫn dùng các công thức của lò xo thẳng đứng nhưng Δl_o = 0 và lực phục hồi chính là lực đàn hồi F_dh(max) = F_hp = k.A và F_dh(min) = 0.

* Bài tập 1: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là l_o = 30 cm, độ cứng của lò xo là K = 10 N/m. Treo vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 5 cm. Xác định chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động của vật.

Xem lời giải

• Đề bài: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là l_o = 50cm, độ cứng của lò xo là K = 10 N/m. Treo vật nặng có khối lượng m = 0,2kg vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 10cm. Xác định chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động của vật.

• Lời giải:

– Đề cho: l_o = 50(cm) và Δl_o = mg/k = 0,2.10/10 = 0,2(m) = 20(cm)

l_max = l_o + Δl_o + A = 50 + 20 + 10 = 80(cm)

l_min = l_o + Δl_o – A = 50 + 20 – 10 = 60(cm)

* Bài tập 2: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là l_o = 50cm, độ cứng của lò xo là K = 20(N/m). Treo vật nặng có khối lượng m = 0,2(kg) vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 10cm. Xác định lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động của vật.

Xem lời giải

• Đề bài: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là l_o = 50cm, độ cứng của lò xo là K = 20(N/m). Treo vật nặng có khối lượng m = 0,2(kg) vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 5cm. Xác định lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động của vật.

• Lời giải:

– Ta có: $Delta l_0=frac{mg}{k}=frac{0,2.10}{20}=0,1(m)$

– Ta thấy: Δl_o = 0,1(m) > A = 5(cm ) = 0,05(m).

– Áp dụng F_dh(max) = K(A + Δl_o) = 20(0,05 + 0,1) = 3(N)

F_dh(min) = K(Δl_o – A) = 20(0,1 – 0,05) = 1(N).

* Bài tập 3: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là l_o = 30 cm, độ cứng của lò xo là K = 10 N/m. Treo vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 20 cm. Xác định thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ?

Xem lời giải

• Đề bài: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là l_o = 30(cm), độ cứng của lò xo là K = 10(N/m). Treo vật nặng có khối lượng m = 0,1(kg) vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 20(cm). Xác định thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ?

• Lời giải:

> Đề cho: l₀ = 30cm; k = 10(N/m); m =0,1(kg); A = 20(cm);

Gọi φ_nén là góc nén trong một chu kỳ.

φ_nén = 2.α Trong đó: cosα = Δl_o/A

– Ta có: t_nen = φ/ω. Như vậy cần tìm φ và ω

Với: $dpi{100} cosalpha =frac{Delta l_0}{A}=frac{10}{20}=frac{1}{2}$ $dpi{100} Rightarrow o'=frac{pi }{3} Rightarrow varphi =2alpha =frac{2pi }{3}$ (1)

$omega =sqrt{frac{K}{m}}=sqrt{frac{10}{0,1}}=sqrt{100}=10(rad/s)$ (2)

– Từ (1) và (2) suy ra: $t_{nen}=frac{varphi }{omega }=frac{2pi}{3.10}=frac{pi}{15}(s)$

° Dạng 4: Động năng, thế năng và Cơ năng của con lắc lò xo.

+ Công thức tính động năng:

$W_d=frac{1}{2}mv^2=frac{1}{2}mA^2omega ^2sin^2(omega t+varphi )$

⇒ động năng của con lắc lò xo dao động tuần hoàn với ω’ = 2ω; f’ = 2f; T’ = T/2

+ Công thức tính thế năng:

$W_t=frac{1}{2}kx^2=frac{1}{2}kA^2cos^2(omega t+varphi )$

⇒ động năng của con lắc lò xo dao động tuần hoàn với ω’ = 2ω; f’ = 2f; T’ = T/2

+ Công thức tính cơ năng (lưu ý: k = mω²).

$W=W_t+W_d=frac{1}{2}kA^2=frac{1}{2}momega ^2A^2$

– Cơ năng của con lắc lò xo không đổi và tỉ lệ với bình phương biên độ dao động. Nếu bỏ qua mọi ma sát cơ năng của con lắc lò xo là đại lượng bảo toàn.

> Lưu ý:

• Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn ngược pha nhau, còn cơ năng bảo toàn.

• E = E_đ (ở VTCB – vận tốc lớn nhất), còn E = E_t (ở biên – li độ lớn nhất).

• Cơ năng con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng của vật.

* Bài tập 1: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật m và lò xo có độ cứng k=100N/m. Kích thích để vật dao động điều hoà với động năng cực đại 0,5J. Xác định biên độ dao động của vật?

Xem lời giải

• Đề bài: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm vật m và lò xo có độ cứng k=100N/m. Kích thích để vật dao động điều hoà với động năng cực đại 0,5(J). Xác định biên độ dao động của vật?

• Lời giải:

> Đề cho: k = 100N/m; W = W_đ(max) = 0,5(J).

– Ta có: W = W_đ(max) = W_t(max) = (kA²)/2

$Rightarrow A=sqrt{frac{2W}{k}}=sqrt{frac{2.0,5}{100}}=sqrt{0,01}=0,1(m)$

→ Biên độ dao động của vật là 0,1(m) = 10(cm).

* Bài tập 2: Con lắc lò xo đặt nằm ngang, gồm vật nặng có khối lượng 500 g và một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, dao động điều hòa. Trong quá trình dao động chiều dài của lò xo biến thiên từ 22 cm đến 30 cm. Tính cơ năng của con lắc?

Xem lời giải

Như vậy, với các dạng bài tập về con lắc lò xo ở trên, về cơ bản các em vẫn cần ghi nhớ các công thứ về chu kỳ, tần số, tần số góc, các công thức này khi ghép nhiều vật với nhau; để tương ứng với mỗi dạng bài tập vận dụng một cách linh hoạt.

Bản quyền bài viết thuộc Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: https://tmdl.edu.vn/bai-tap-con-lac-lo-xo-cac-dang-toan-va-cach-giai/

Trang chủ: tmdl.edu.vn
Danh mục bài: Giáo dục

Lương Sinh7 Tháng Ba, 2023