Các công thức Biến đổi Căn thức bậc hai và Bài tập vận dụng – Toán lớp 9 - Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá

Các công thức Biến đổi Căn thức bậc hai và Bài tập vận dụng. Trong chương 1 toán lớp 9 nội dung chính các em được học về căn thức bậc hai, bậc 3. Để vận dụng giải được các bài tập về căn thức này điều bắt buộc là chúng ta phải nhớ được các công thức.

Bài viết này, chúng ta cùng ôn lại các công thức biến đổi căn thức bậc hai và vận dụng các công thức này để giải các bài tập minh họa. Việc giải bài tập nhiều sẽ giúp các em hiểu rõ và ghi nhớ tốt hơn các công thức qua đó rèn luyện được các kỹ năng giải toán.

Bạn đang xem bài: Các công thức Biến đổi Căn thức bậc hai và Bài tập vận dụng – Toán lớp 9

I. Các công thức biến đổi căn thức bậc hai cần nhớ.

$1.: sqrt{A^2}=left | A right |$

1604128402nejcrmp5q6 1625284509 1 (với A≥0 và B≥0)

$3.: sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}}$ (với A≥0 và B>0)

$4.: sqrt{A^2B}=left | A right |sqrt{B}$ (với B≥0)

$dpi{100} fn_cm 5.: Asqrt{B}=sqrt{A^2B}$ (với A≥0 và B≥0)

$Asqrt{B}=-sqrt{A^2B}$ (với A<0 và B≥0)

$6.: sqrt{frac{A}{B}}=frac{1}{left | B right |}sqrt{AB}$ (với AB ≥0 và B≠0)

$small 7.: frac{A}{sqrt{B}}=frac{Asqrt{B}}{B}$ (với B>0)

$8.: frac{C}{sqrt{A}+ B}=frac{C(sqrt{A}-B)}{A-B^2}$ (với A≥0 và A≠B²)

$frac{C}{sqrt{A}- B}=frac{C(sqrt{A}+B)}{A-B^2}$ (với A≥0 và A≠B²)

$9.: frac{C}{sqrt{A}+sqrt{B}}=frac{C(sqrt{A}-sqrt{B})}{A-B}$ (với A≥0; B≥0 và A≠B)

$: frac{C}{sqrt{A}-sqrt{B}}=frac{C(sqrt{A}+sqrt{B})}{A-B}$ (với A≥0; B≥0 và A≠B)

Như vậy ở trên là các công thức biến đổi căn thức bậc 2, các em lưu ý rằng: các biểu thức trong căn bậc 2 phải không âm, chính vì vậy mà mỗi công thức trên nếu có các điều kiện đi kèm các em cần phải ghi nhớ để tránh phép biến đổi của mình bị sai.

II. Bài tập vận dụng các phép biến đổi căn thức

* Bài 70 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:

$a): sqrt{frac{25}{81}.frac{16}{49}.frac{196}{9}}$ $b): sqrt{3frac{1}{16}.2frac{14}{25}.2frac{34}{81}}$

$c): frac{sqrt{640}.sqrt{34,3}}{sqrt{567}}$ $d): sqrt{24,6}.sqrt{810}.sqrt{11^2-5^2}$

* Lời giải:

$a): sqrt{frac{25}{81}.frac{16}{49}.frac{196}{9}}=sqrt{frac{25}{81}}.sqrt{frac{16}{49}}.sqrt{frac{196}{9}}$

$=frac{sqrt{25}}{sqrt{81}}.frac{sqrt{16}}{sqrt{49}}.frac{sqrt{196}}{sqrt{9}} =frac{sqrt{5^2}}{sqrt{9^2}}.frac{sqrt{4^2}}{sqrt{7^2}}.frac{sqrt{14^2}}{sqrt{3^2}}$

$=frac{5}{9}.frac{4}{7}.frac{14}{3}=frac{5.4.2}{9.3}=frac{40}{27}$

– Ta cũng có thể biến đổi như sau:

$sqrt{frac{25}{81}}.sqrt{frac{16}{49}}.sqrt{frac{196}{9}}=sqrt{left ( frac{5}{9} right )^2}.sqrt{left ( frac{4}{7} right )^2}.sqrt{left ( frac{14}{3} right )^2}$

$=frac{5}{9}.frac{4}{7}.frac{14}{3}=frac{5.4.2}{9.3}=frac{40}{27}$

$b): sqrt{3frac{1}{16}.2frac{14}{25}.2frac{34}{81}}$ $=sqrt{frac{49}{16}.frac{64}{25}.frac{196}{81}}$

$=sqrt{frac{49}{16}}.sqrt{frac{64}{25}}.sqrt{frac{196}{81}}=frac{sqrt{7^2}}{sqrt{4^2}}.frac{sqrt{8^2}}{sqrt{5^2}}.frac{sqrt{14^2}}{sqrt{9^2}}$

$=frac{7.8.14}{4.5.9}=frac{7.2.14}{5.9}=frac{196}{45}$

$c): frac{sqrt{640}.sqrt{34,3}}{sqrt{567}}$ $=sqrt{frac{640.34,3}{567}}=sqrt{frac{64.343}{567}}$

$=sqrt{frac{64.49.7}{81.7}}=sqrt{frac{64.49}{81}}=sqrt{frac{8^2.7^2}{9^2}}=frac{8.7}{9}=frac{56}{9}$

$d): sqrt{24,6}.sqrt{810}.sqrt{11^2-5^2}$

1625284519to00y1zdux 1

1625284520kymmqkv0hm 1

$=sqrt{1296.81.16}=sqrt{36^2.9^2.4^2}$

$=sqrt{(36.9.4)^2}=1296$

* Bài 71 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

1604128410wtt3mdlkg7 1625284520 1

$b): 0,2sqrt{(-10)^2.3}+2sqrt{ (sqrt{3}-sqrt{5} )^2}$

$d): 2sqrt{(sqrt{2}-3)^2}+sqrt{2.(-3)^2}-5sqrt{(-1)^4}$

* Lời giải:

1604128410wtt3mdlkg7 1625284520 1

$=left ( sqrt{2^2.2}-3sqrt{2}+sqrt{2.5} right )sqrt{2}-sqrt{5}$

1604128411bdwt8ncdqr 1625284522 1

$=2 (sqrt{2})^2-3(sqrt{2})^2+sqrt{5}.(sqrt{2})^2-sqrt{5}$

1604128411khlr2i2v3m 1625284522 1

$b): 0,2sqrt{(-10)^2.3}+2sqrt{ (sqrt{3}-sqrt{5} )^2}$

1604128412rbx4gaedys 1625284523 1

1604128412h9wmkjcwua 1625284523 1

$d): 2sqrt{(sqrt{2}-3)^2}+sqrt{2.(-3)^2}-5sqrt{(-1)^4}$

1604128413lz3cx48fqg 1625284523 1

1604128413lu3w6pjwe0 1625284524 1

1604128413vwig1mpfmw 1625284524 1

* Bài 73 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1: Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau:

$a): sqrt{-9a}-sqrt{9+12a+4a^2}: ;: a=-9$

$b): 1+frac{3m}{m-2}sqrt{m^2-4m+4}: ; m=1,5$

$c): sqrt{1-10a-25a^2}-4a: ;: a=sqrt{2}$

$d): 4x-sqrt{9x^2+6x+1}: ;: x=-sqrt{3}$

* Lời giải:

$a): sqrt{-9a}-sqrt{9+12a+4a^2}: ;: a=-9$

$= sqrt{3^2.(-a)}-sqrt{3^2+2.3.2a+(2a)^2}$

$= 3sqrt{(-a)}-sqrt{(3+2a)^2}= 3sqrt{(-a)}-|3+2a|$

– Tại a = -9 thay vào ta được:

$3sqrt{-(-9)}-|3+2(-9)|=3sqrt{3^2}-|3-18|$

1603954312fo17aabhvl 1604128415 1625284527 1

$b): 1+frac{3m}{m-2}sqrt{m^2-4m+4}: ; m=1,5$

$= 1+frac{3m}{m-2}sqrt{m^2-2.2.m+2^2}$

$= 1+frac{3m}{m-2}sqrt{(m-2)^2}=1+frac{3m}{m-2}.|m-2|$

– Tại m = 1,5 thay vào ta được:

$1+frac{3.1,5}{1,5-2}.|1,5-2|$ $=1+frac{4,5}{-0,5}.0,5=1-4,5=-3,5$

$c): sqrt{1-10a-25a^2}-4a: ;: a=sqrt{2}$

$=sqrt{1-10a-25a^2}-4a=sqrt{1-2.5a+(5a)^2}-4a$

$=sqrt{(1-5a)^2}-4a=|1-5a|-4a$

– Tại 1604128418bi81p62ibt 1625284529 1 thay vào ta được:

16039543554u106zoc9y 1604128418 1625284529 1

$d): 4x-sqrt{9x^2+6x+1}: ;: x=-sqrt{3}$

$=4x-sqrt{9x^2+6x+1}=4x-sqrt{(3x)^2+2.3x.1+(1)^2}$

$=4x-sqrt{(3x+1)^2}=4x-|3x+1|$

– Tại 1604128419kwgcmpaukd 1625284530 1 thay vào ta được

1603954378j9vckjs53w 1604128419 1625284530 1

* Bài 74 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:

$a): sqrt{(2x-1)^2}=3$

$b): frac{5}{3}sqrt{15x}-sqrt{15x}-2=frac{1}{3}sqrt{15x}$

* Lời giải:

$a): sqrt{(2x-1)^2}=3$

1604128420x4xganpas6 1625284531 1 (*)

+ Nếu 2x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/2 thì |2x – 1| = 2x – 1 ta có

(*) ⇔ 2x – 1 = 3 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa điều kiện x≥1/2).

+ Nếu Nếu 2x – 1 < 0 ⇒ x < 1/2 thì |2x – 1| = -(2x – 1) = 1 – 2x ta có

(*) ⇔ 1 – 2x = 3 ⇔ 2x = -2 ⇔ x = -1 (thỏa điều kiện x<1/2).

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và x = -1

$b): frac{5}{3}sqrt{15x}-sqrt{15x}-2=frac{1}{3}sqrt{15x}$ (*)

– Điều kiện: x≥0.

$(*)Leftrightarrow frac{5}{3}sqrt{15x}-sqrt{15x}-frac{1}{3}sqrt{15x}=2$

$Leftrightarrow frac{1}{3}sqrt{15x}=2Leftrightarrow sqrt{15x}=6$

(Bình phương 2 vế của phương trình)

$Leftrightarrow 15x=36Leftrightarrow x=frac{36}{15}=frac{12}{5}$

* Bài 76 trang 41 SGK Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức

$Q=frac{a}{sqrt{a^2-b^2}}-left ( 1+frac{a}{sqrt{a^2-b^2}} right ):frac{b}{a-sqrt{a^2-b^2}}$ (với a>b>0).

a) Rút gọn Q.

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b.

* Lời giải:

a) Rút gọn Q.

$Q=frac{a}{sqrt{a^2-b^2}}-left ( 1+frac{a}{sqrt{a^2-b^2}} right ):frac{b}{a-sqrt{a^2-b^2}}$

$=frac{a}{sqrt{a^2-b^2}}-left ( 1+frac{a}{sqrt{a^2-b^2}} right ).frac{a-sqrt{a^2-b^2}}{b}$

$=frac{a}{sqrt{a^2-b^2}}-frac{a+sqrt{a^2-b^2}}{sqrt{a^2-b^2}}.frac{a-sqrt{a^2-b^2}}{b}$

$=frac{a}{sqrt{a^2-b^2}}-frac{a^2-(sqrt{a^2-b^2})^2}{bsqrt{(a^2-b^2)}}$ $=frac{a}{sqrt{a^2-b^2}}-frac{a^2-(a^2-b^2)}{bsqrt{(a^2-b^2)}}$

$=frac{a}{sqrt{a^2-b^2}}-frac{b^2}{bsqrt{(a^2-b^2)}}$ $=frac{a}{sqrt{a^2-b^2}}-frac{b}{sqrt{(a^2-b^2)}}=frac{a-b}{sqrt{a^2-b^2}}$

$=frac{(sqrt{a-b})^2}{sqrt{(a-b)(a+b)}}=frac{sqrt{a-b}}{sqrt{a+b}}$

> Lưu ý: ở phép biến đổi trên do giả thiết a>b>0 nên a-b>0 ta mới có thể viết:

$a-b=(sqrt{a-b})^2$ và 1604128424gavv4ay6d9 1625284535 1

b) Thay a = 3b vào ta được:

$Q=frac{sqrt{3b-b}}{sqrt{3b+b}}=frac{sqrt{2b}}{sqrt{4b}}=sqrt{frac{1}{2}}=frac{sqrt{2}}{2}$

Như vậy việc vận dụng các công thức biến đổi căn thức bậc hai giúp chúng ta giải một số dạng bài tập về rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai một cách dễ dàng hơn.

Cũng cần lưu ý rằng đối với 1 biểu thức khi rút gọn chúng ta có thể vận dụng các phép biến đổi khác nhau, tuy nhiên kết quả rút gọn cuối cùng phải giống nhau.

Bản quyền bài viết thuộc Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: https://tmdl.edu.vn/cac-cong-thuc-bien-doi-can-thuc-bac-hai-va-bai-tap-van-dung/

Trang chủ: tmdl.edu.vn
Danh mục bài: Giáo dục

Lương Sinh19 Tháng Hai, 2023