Các dạng toán về tỉ lệ thức và phương pháp giải – Toán lớp 7 - Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá

Các dạng toán về tỉ lệ thức và phương pháp giải. Tỉ lệ thức, dãy tỉ lệ thức bằng nhau cũng có một số dạng toán hay trong nội dung kiến thức chương 1 Số hữu tỉ số thực của Toán lớp 7, một số dạng bài tập đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các phép toán tỉ lệ thức.

Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về tỉ lệ thức, phương pháp giải các dạng toán này, sau đó vận dụng giải các bài tập từ cơ bản tới nâng cao để các em dễ dàng ghi nhớ.

Bạn đang xem bài: Các dạng toán về tỉ lệ thức và phương pháp giải – Toán lớp 7

I. Lý thuyết về Tỉ lệ thức

• Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $small frac{a}{b}=frac{c}{d}$ hoặc a:b = c:d (a, b, c, d ∈ Q; b, d ≠ 0).

* Ví dụ: Tỉ lệ thức $small frac{3}{4}=frac{6}{8}$ có thể được viết là: 3:4 = 6:8

– Các số: a, d là ngoại tỉ; b, c là trung tỉ

– Từ tỉ lệ thức: $small frac{a}{b}=frac{c}{d};$ suy ra: a.d = c.b

– Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỉ lệ thức:

$small frac{a}{b}=frac{c}{d};$ $small frac{a}{c}=frac{b}{d};$ $small frac{d}{b}=frac{c}{a};$ $small frac{d}{c}=frac{b}{a};$

– Từ tỉ lệ thức a/b = c/d suy ra các tỉ lệ thức:

$small frac{a}{c}=frac{b}{d};$ $small frac{d}{b}=frac{c}{a};$ $small frac{d}{c}=frac{b}{a};$

• Tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau:

– Từ tỉ lệ thức $small dpi{100} fn_cm small frac{a}{b}=frac{c}{d}$ suy ra các tỷ lệ thức sau:

$small dpi{100} fn_cm small frac{a}{c}=frac{a+c}{b+d}=frac{a-c}{b-d};$ 1573644434iqep4s47ov 1604564025 1630877296

– Từ tỉ lệ thức $small frac{a}{b}=frac{c}{d}=frac{m}{n}$ suy ra các tỉ lệ thức sau:

$small frac{a}{b}=frac{a+c+m}{b+d+n}=frac{a-c+m}{b-d+n};$ 1573644438hrcp7murgb 1604564025 1630877296

hayhochoivn dn15

II. Các dạng bài tập về Tỉ lệ thức

° Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ các số đã cho

* Phương pháp:

– Sử dụng tính chất: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỉ lệ thức:

$small frac{a}{b}=frac{c}{d};$ $small frac{a}{c}=frac{b}{d};$ $small frac{d}{b}=frac{c}{a};$ $small frac{d}{c}=frac{b}{a};$

* Ví dụ 1 (Bài 45 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau đây rồi lập các tỉ lệ thức

1573644445v4oldu86zs 1604564026 1630877297 $small 2frac{1}{2}:2;$ 15736444483rmu8ufzdd 1604564026 1630877298 $small frac{1}{2}:frac{2}{3};$ 1573644450jmjljwr9ai 1604564026 1630877298 1573644452snpnf8skrb 1604564026 1630877298

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 45 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có:

$small 2frac{1}{2}:2=frac{5}{2}:2=frac{5}{2}.frac{1}{2}=frac{5}{4}$

1573661832ubd224copr 1604564027 1630877299

$small frac{1}{2}:frac{2}{3}=frac{1}{2}.frac{3}{2}=frac{3}{4};$

$small 3:10=frac{3}{10};$

$small 2,1:7=frac{21}{10}:7=frac{21}{10}.frac{1}{7}=frac{3}{10};$

$small 3:0,3=3:frac{3}{10}=3.frac{10}{3}=10;$

– Từ kết quả trên, ta có các tỉ số bằng nhau là:

$small frac{28}{14}=frac{8}{4}(=2);$ $small frac{3}{10}=frac{2,1}{7}left (=frac{3}{10} ight )$

* Ví dụ 2 (Bài 47 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1): Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các đẳng thức sau:

a) 6.63 = 9.42.

b) 0,24.1,61 = 0,84.0,46.

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 47 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

a) Từ 6.63 = 9.42 ta có:

$small frac{6}{9}=frac{42}{63};$ $small frac{6}{42}=frac{9}{63};$ $small frac{9}{6}=frac{63}{42};$ $small frac{42}{6}=frac{63}{9};$

b) Từ 0,24.1,61 = 0,84.0,46 ta có:

$small frac{0,24}{0,84}=frac{0,46}{1,61};$ $small frac{0,24}{0,46}=frac{0,84}{1,61};$ $small frac{0,84}{0,24}=frac{1,61}{0,46};$ $small frac{0,46}{0,24}=frac{1,61}{0,84};$

° Dạng 2: Tìm x từ tỉ lệ thức

* Phương pháp:

– Sử dụng tính chất: $small frac{a}{b}=frac{c}{d}Rightarrow a.d=b.c$

* Ví dụ 1 (Bài 46 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a) $small frac{x}{27}=frac{-2}{3,6};$

b) 157366186054806g0owy 1604564028 1630877302

c) $small frac{4frac{1}{4}}{2frac{7}{8}}=frac{x}{1,61}$

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 46 trang 26 SGK Toán 7 Tập 1):

a) $small frac{x}{27}=frac{-2}{3,6};$ 1573661864mw6a369yye 1604564029 1630877303 $small Rightarrow x=frac{(-2).27}{3,6}=-15$

b) 157366186054806g0owy 1604564028 1630877302 $small Rightarrow frac{(-0,52)}{x}=frac{(-9,36)}{16,38}$

1573661869tnglr7j9br 1604564029 1630877304 $small Rightarrow x=frac{(-0,52).16,38}{(-9,36)}=frac{91}{100}=0,91$

c) $small frac{4frac{1}{4}}{2frac{7}{8}}=frac{x}{1,61}$ $small Rightarrow 4frac{1}{4}.1,61=x.2frac{7}{8}$

$small Rightarrow frac{17}{4}.1,61=x.frac{23}{8}$ $small Rightarrow x= frac{17}{4}.1,61:frac{23}{8}$

$small Rightarrow x= frac{17}{4}.frac{161}{100}.frac{8}{23}$ $small =frac{17.7}{50}=frac{119}{50}=2,38$

* Ví dụ 2: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

a) $small frac{3x+2}{5x+7}=frac{3x-1}{5x+1}$

b) $small frac{x+1}{2x+1}=frac{0,5x+2}{x+3}$

◊ Lời giải ví dụ 2:

a) $small frac{3x+2}{5x+7}=frac{3x-1}{5x+1}$

$small Rightarrow 15x^{2}+3x+10x+2$ $small =15x^{2}+21x-5x-7$

b) $small frac{x+1}{2x+1}=frac{0,5x+2}{x+3}$

1573661891ztmel863u9 1604564030 1630877307

$small Rightarrow x^{2}+3x+x+3$ $small =x^{2}+0,5x+4x+2$

15736618950k6aul548c 1604564031 1630877308

° Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức

* Phương pháp:

– Đặt $small frac{a}{b}=frac{c}{d}=k$ 1573661899wgj954a8oo 1604564031 1630877308 rồi thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh ta được cùng một biếu thức, suy ra điều phải chứng minh (đpcm).

– Hoặc có thể dùng tính chất: $small frac{a}{b}=frac{c}{d}Rightarrow a.d=c.b$ để chứng minh

– Hoặc dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

– Hoặc dùng cách đặt thừa số chung trên tử và mẫu để chứng minh.

* Ví dụ (Bài 63 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1): Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức $small frac{a}{b}=frac{c}{d};$ 15736619034zsfw4juin 1604564031 1630877309 ta có thể suy ra tỉ lệ thức: $small frac{a+b}{a-b}=frac{c+d}{c-d}$

◊ Lời giải ví dụ (Bài 63 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

– Ta có: $small frac{a}{b}=frac{c}{d}Rightarrow frac{a}{c}=frac{b}{d}$

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$small frac{a}{c}=frac{b}{d}=frac{a+b}{c+d}=frac{a-b}{c-d}$

$small frac{a+b}{c+d}=frac{a-b}{c-d}Rightarrow frac{a+b}{a-b}=frac{c+d}{c-d}$

° Dạng 4: Tìm x, y trong dãy tỉ số bằng nhau

* Phương pháp:

– Đưa về cùng một tỉ số: $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$

– Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

– Sử dụng phương pháp thế (rút x, hoặc y từ một biểu thức thế vào biểu thức còn lại để tính)

– Đặt: $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$

* Ví dụ 1 (Bài 54 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm 2 số x và y biết:

$small frac{x}{3}=frac{y}{5}$ và 1573661914bmfahk7vit 1604564032 1630877310

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 54 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$small frac{x}{3}=frac{y}{5}$ $small =frac{x+y}{3+5}=frac{16}{8}=2$

– Vậy có: $small frac{x}{3}=2Rightarrow x=3.2=6$ ; $small frac{y}{5}=2Rightarrow y=5.2=10$

* Ví dụ 2 (Bài 55 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm 2 số x và y biết:

x:2=y:(-5) và x-y=(-7).

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 55 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có: $small x:2=y:(-5)Rightarrow frac{x}{-5}=frac{y}{2}$

– Theo tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau, và giả thiết x-y=-7, ta có:

$small frac{x}{-5}=frac{y}{2}=frac{x-y}{-5-2}=frac{-7}{-7}=1$

– Vậy có: $small frac{x}{-5}=1Rightarrow x=1.(-5)=-5$ ; $small frac{y}{2}=1Rightarrow y=1.2=2$

* Ví dụ 3 (Bài 56 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm diện tích hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó là 2/5 và chu vi là 28m.

◊ Lời giải ví dụ 3 (Bài 56 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Gọi x và y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật (đơn vị mét và x, y > 0).

– Theo bài ra, ta có chu vi hình chữ nhật là 28m nên: (x + y).2 = 28 ⇒ x + y =28 : 2 = 14.

– Cũng theo bài ra, tỉ số giữa 2 cạnh là 2/5 nên ta có: $small frac{x}{y}=frac{2}{5}Rightarrow frac{x}{2}=frac{y}{5}$

– Theo tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau, kết hợp với x+y=14, ta có: $small dpi{100} fn_cm small frac{x}{2}=frac{y}{5}=frac{x+y}{2+5}=frac{14}{7}=2$

– Vậy có: $small frac{x}{2}=2Rightarrow x=4$ ; $small frac{y}{5}=2Rightarrow y=10$

° Dạng 5: Tính tổng hay hiệu một biểu thức khi biết dãy tỉ số

* Phương pháp:

♣ Cách 1: Đặt $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}=k$ 1573661946steicm9kvp 1604564033 1630877313 rồi thay vào biểu thức.

♣ Cách 2: Dùng tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau.

* Ví dụ 1 (Bài 57 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1): Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2 ; 4 ; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn biết rằng ba bạn có 44 viên bi.

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 57 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1):

– Gọi x, y, z lần lượt là số viên bị của ba bạn Minh, Hùng, Dũng

– Theo bài ra, số bi của Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2, 4, 5 nên có:

$small frac{x}{2}=frac{y}{4}=frac{z}{5}$

– Theo bài ra, 3 bạn có tổng cộng 44 viên bi nên: x + y + z = 44. (*)

– Từ tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau kết hợp (*) ta có:

$small frac{x}{2}=frac{y}{4}=frac{z}{5}$ $small =frac{x+y+z}{2+4+5}=frac{44}{11}=4$

– Vậy có: $small frac{x}{2}=4Rightarrow x=8$ ; $small frac{y}{4}=4Rightarrow y=16$ ; $small frac{z}{5}=4Rightarrow z=20$

* Ví dụ 2 (Bài 61 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm ba số x, y, z biết x/2 = y/3; y/4 = z/5 và x + y – z = 10.

◊ Lời giải ví dụ 2 (Bài 61 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

– Theo bài ra, ta có:

$small frac{x}{2}=frac{y}{3}$ $small Rightarrow frac{x}{2}.frac{1}{4}=frac{y}{3}.frac{1}{4}$ $small Rightarrow frac{x}{8}=frac{y}{12}$

$small frac{y}{4}=frac{z}{5}$ $small Rightarrow frac{y}{4}.frac{1}{3}=frac{z}{5}.frac{1}{3}$ $small Rightarrow frac{y}{12}=frac{z}{15}$

– Do đó, ta có: $small frac{x}{8}= frac{y}{12}=frac{z}{15}$

– Từ tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau, ta có:

$small frac{x}{8}= frac{y}{12}=frac{z}{15}$ $small =frac{x+y-z}{8+12-15}=frac{10}{5}=2$

– Vậy có: $small frac{x}{8}=2Rightarrow x=16$ ; $small frac{y}{12}=2Rightarrow y=24$ ; $small frac{z}{15}=2Rightarrow z=30$

° Dạng 6: Tính tích một biểu thức khi biết dãy tỉ số

* Phương pháp:

– Đưa về cùng tỉ số: $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$

♣ Cách 1: Đặt $small frac{x}{a}=frac{y}{b}=frac{z}{c}$ 1573661946steicm9kvp 1604564033 1630877313 rồi thay vào biểu thức để tìm k, sau đó tính x,y,z từ 1573661987v7u0nwys2b 1604564035 1630877317 .

♣ Cách 2: Nhân vào 2 vế x hoặc y rồi thực hiện các tính toán phù hợp.

* Ví dụ 1 (Bài 62 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm hai số x và y biết rằng: $small frac{x}{2}=frac{y}{5}$ và x.y=10.

◊ Lời giải ví dụ 1 (Bài 62 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1):

♣ Cách 1: Đặt $small frac{x}{2}=frac{y}{5}=k$

⇒ x = 2.k; y = 5.k;

– Theo bài ra, ta có: x.y = 10 ⇒ 2k.5k = 10 ⇒ 10k² = 10 ⇒ k² = 1 ⇒ k = 1 hoặc k = -1.

• Với k = 1 thì x = 2k = 2; y = 5k = 5.

• Với k = -1 thì x = 2k = -2; y = 5k = -5.

⇒ Vậy x = 2 ; y = 5 hoặc x = -2; y = -5.

♣ Cách 2: Nhân vào 2 vế x hoặc y rồi thực hiện các tính toán phù hợp.

– Theo bài ra, ta có: $small frac{x}{2}=frac{y}{5}Rightarrow frac{x}{2}.frac{x}{2}=frac{y}{5}.frac{x}{2}$ (nhân cả 2 vế của đẳng thức với $small frac{x}{2}$ )

$small Rightarrow left ( frac{x}{2} ight )^{2}=frac{x.y}{10}=frac{10}{10}=1$

$small Rightarrow frac{x}{2}=1$ hoặc $small frac{x}{2}=-1$

1573662002ljrh6qycsg 1604564036 1630877319

– Trường hợp 1: x = 2 ⇒ y = 5

– Trường hợp 2: x = -2 ⇒ y = -5.

° Dạng 7: Vận dụng tính chất Tỉ lệ thức chứng minh bất đẳng thức

♦ Tính chất 1: Cho hai số hữu tỉ $small frac{a}{b}$ và $small frac{c}{d}$ với b>0; d>0. Chứng minh: $small frac{a}{b}< frac{c}{d}Rightarrow ad< bc$

◊ Hướng dẫn:

– Có $small left.egin{matrix} frac{a}{b}<frac{c}{d} b>0;d>0 end{matrix} ight}$ $small Rightarrow frac{ad}{bd}<frac{cb}{db}Rightarrow ad<bc$

– Có 15736620113twf1zb1vu 1604564036 1630877320 $small Rightarrow frac{ad}{bd}<frac{bc}{db}Rightarrowfrac{a}{b}<frac{c}{d}$

♦ Tính chất 2: Nếu b>0; d>0 thì từ $small frac{a}{b}< frac{c}{d}Rightarrow frac{a+c}{b+d}< frac{c}{d}$

◊ Hướng dẫn:

– Có $small left.egin{matrix} frac{a}{b}< frac{c}{d} b> 0;d> 0 end{matrix} ight}$

– Cộng 2 vế của (1) với ab ta có:

157366201623ippjwa6f 1604564037 1630877321

$small Rightarrow frac{a}{b}<frac{a+c}{b+d};(2)$

– Công 2 vế của (1) với dc ta có:

1573662020cqfnz12qyz 1604564037 1630877321 157366202199mqlnaio5 1604564037 1630877322

$small Rightarrow frac{a+c}{b+d}<frac{c}{d};(3)$

– Từ (2) và (3), ta được: $small frac{a}{b}< frac{c}{d}$ $small Rightarrow frac{a}{b}< frac{a+c}{b+d}< frac{c}{d}$ (đpcm).

♦ Tính chất 3: Cho a, b, c là các số dương, nên:

a) Nếu $small frac{a}{b}< 1$ thì $small frac{a}{b}< frac{a+c}{b+c}$

a) Nếu $small frac{a}{b}> 1$ thì $small frac{a}{b}> frac{a+c}{b+c}$

* Ví dụ : Cho a, b, c, d > 0; chứng minh:

$small 1<frac{a}{a+b+c}+frac{b}{b+c+d}$ $small +frac{c}{c+d+a}+frac{d}{d+a+b}<2$

◊ Lời giải:

– Từ $small frac{a}{a+b+c}<1$ theo tính chất (3) ta có:

$small frac{a+d}{a+b+c+d}>frac{a}{a+b+c};(1)$ [do d>0]

– Mặt khác: $small frac{a}{a+b+c}>frac{a}{a+b+c+d};(2)$

– Từ (1) và (2) ta có: $small frac{a}{a+b+c+d}<frac{a}{a+b+c}$ $small <frac{a+d}{a+b+c+d};(3)$

– Tương tự ta có:

$small frac{b}{a+b+c+d}<frac{b}{b+c+d}$ $small dpi{100} fn_cm small <frac{b+a}{b+c+d+a};(4)$

$small dpi{100} fn_cm small frac{c}{a+b+c+d}<frac{c}{c+d+a}$ $small dpi{100} fn_cm small <frac{c+b}{c+d+a+b};(5)$

$small frac{d}{d+a+b+c}<frac{d}{d+a+b}$ $small <frac{d+c}{d+a+b+c};(6)$

– Cộng vế với vế của các bất đẳng thức (3); (4); (5); (6) ta được:

$small 1<frac{a}{a+b+c}+frac{b}{b+c+d}$ $small +frac{c}{c+d+a}+frac{d}{d+a+b}<2$

III. Một số bài tập về tỉ lệ thức

* Bài tập 1: Các số sau có lập được tỉ lệ thức không

a) 3,5:5,25 và 14:21

b) $small 39frac{3}{10}:52frac{2}{5}$ và 2,1:3,5

c) 6,51:15,19 và 3:7

d) $small -7:4frac{2}{3}$ và 0,9:(-0,5)

* Bài tập 2: Tìm x từ tỉ lệ thức sau:

a) $small frac{2x+1}{5}=frac{3}{2x-1}$

b) $small 1frac{1}{2}:(3x-2)=frac{1}{12}:frac{4}{21}$

c) $small frac{x}{-4}=frac{-16}{x}$

d) $small frac{-2}{x}=frac{-x}{frac{8}{25}}$

* Bài tập 3: Chứng minh rằng: Nếu a² = bc thì: $small frac{a+b}{a-c}=frac{c+a}{c-a}$

* Bài tập 4: Chứng minh rằng: Nếu $small frac{a}{b}=frac{c}{d}$ thì: $small frac{5a+3b}{5a-3b}=frac{5c+3d}{5c-3d}$

* Bài tập 5: Tìm x và y biết:

a) $small frac{x}{y}=frac{3}{4}$ và

b) $small frac{2x}{3y}=-frac{1}{3}$ và

c) 1573664291khez23f9vn 1604564040 1630877329 và 15736642939pb3696sdp 1604564040 1630877329

d) $small frac{x}{5}=frac{y}{3}$ và $small x^{2}-y^{2}=4;(x,y> 0)$

* Bài tập 5: Tìm x, y và z biết:

a) $small frac{x}{2}=frac{y}{3};$ $small frac{y}{5}=frac{z}{7};$ 15736642990p79p8choi 1604564041 1630877330

b) 1573664302v2p31j32v0 1604564041 1630877330

* Bài tập 6: Cho $small frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z}{5}$ tính $small A=frac{3x-5y+5z}{x+y+3z}$

* Bài tập 7: Cho $small frac{x}{4}=frac{y}{7}=frac{z}{5}$ tính $small B=frac{2x+y-z}{x+6y-5z}$

* Bài tập 8: Tìm x, y và z biết

a) $small frac{x}{3}=frac{y}{7};x.y=84$

b) $small frac{x}{3}=frac{y}{2}=frac{z}{6};xyz=288$

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập về tỉ lệ thức và các ví dụ, bài tập minh họa ở trên ở trên giúp các em nắm vững các phương pháp giải dạng toán này. Các em cần tự luyện thêm các bài tập để rèn luyện thêm kỹ năng giải bởi với các dạng toán tỉ lệ thức đòi hỏi vận dụng và biến đổi linh hoạt, chúc các em thành công.

Bản quyền bài viết thuộc Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: https://tmdl.edu.vn/cac-dang-toan-ve-ti-le-thuc-va-phuong-phap-giai/

Trang chủ: tmdl.edu.vn
Danh mục bài: Giáo dục

Lương Sinh24 Tháng Hai, 2023