Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

Bài viết hôm nay, Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá sẽ giới thiệu đến quý bạn đọc công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cực chi tiết. Các bạn dành thời gian chia sẻ để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình dạy và học tốt hơn nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ

Bạn đang xem bài: Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?

Hai đường thẳng trong không gian gồm 4 vị trí tương đối là cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau như sau:

• Khi hai đường thằng song song hoặc trùng nhau thì góc hai đường thẳng bằng 0^o
• Khi hai đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 góc đối đỉnh hay còn gọi là 4 góc. Lúc này ta chọn góc không tù là góc giữa hai đường thẳng
• Khi hai đường thẳng chéo nhau, ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Từ đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Chính vì vậy, hai đường thẳng mới này cắt nhau và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã được cho (Chú ý việc chọn điểm không ảnh hưởng đến số đo của góc).

2. Góc giữa hai mặt phẳng là gì?

Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:

• Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
• Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

II. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN

1. Công thức tính

– Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương 

Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương  và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 

Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết 

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Trục Ox có vecto chỉ phương 

Cosin góc giữa d và Ox là:

Chọn B.

Ví dụ: 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt  , sao cho cosin góc giữa d và  là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ₁ là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương 

Đường thẳng Δ₂ có vectơ chỉ phương 

=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ₂ là:

=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ₂ là 0 khi t= 0.

Khi đó; M( 1; 2; – 2) và 

Vậy phương trình đường thẳng d là: 

Chọn B.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Bài 1:

Cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để 

A. m= 1

B.m= – 1

C. m= – 2

D. m= -1 hoặc m= -7

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến 

=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Theo giả thiết ta có: 

Chọn D.

Bài 2:

Cho đường thẳng  ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình mặt phẳng (ABC): 

Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến  .

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương  .

=> Sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Chọn A.

Bài 3:

Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương 

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương  .

=> Cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

Chọn C.

Bài 4:

Cho đường thẳng  . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là: 

A. m= 2

B. m = – 4

C. m= (- 1)/2

D. m= 1

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương 

Đường thẳng d₂ có vecto chỉ phương 

Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn C.

Bài 5:

Cho đường thẳng  và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là  ?

A. m= ± 1

B.m= ± 2

C. m= 0

D. m= ± 3

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến 

=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Theo giả thiết ta có:

Chọn A.

Bài 6:

Tính góc giữa  và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

A. 30^o

B. 45^o

C. 60^o

D. 90^o

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là: 

d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Cosin góc giữa d và d’ là:

=> góc giữa d và d’ bằng 90^o.

Chọn D.

Bài 7:

Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết  và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương 

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến  nên sin góc giữa d và (P) là:

Chọn A.

Bài 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A( 1; -1; 2) , song song với (P): 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng  một góc α sao cho cosα đạt giá trị nhỏ nhât. Phương trình đường thẳng d là.

A. 

B. 

C.

D. 

Bài 10:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A( -2; 0; 0), đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45^o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

A. ( 2;2; 1) hoặc ( 2;- 2; 1)

B . ( 2; -1;0) hoặc ( 2; 1;0)

C. ( 1;2; 0) hoặc ( – 2; 1;0)

D. ( 2; 2; 0) hoặc ( 2; -2; 0)

Bản quyền bài viết thuộc Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: https://tmdl.edu.vn https://tmdl.edu.vn/cong-thuc-tinh-goc-giua-hai-duong-thang-trong-mat-phang-va-trong-khong-gian/

Trang chủ: tmdl.edu.vn
Danh mục bài: Giáo dục