Các dạng toán về căn bậc 2, căn bậc 3 và cách giải – toán lớp 9 - Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá

Các dạng toán về căn bậc 2, căn bậc 3 và cách giải. Căn bậc 2 và căn bậc 3 là bài đầu tiên trong chương trình đại số toán lớp 9, đây là nội dung quan trọng vì các dạng toán về căn bậc hai và căn bậc ba thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10.

Để giải các dạng bài tập về căn bậc 2, căn bậc 3 thì các em cần nắm vững phần nội dung lý thuyết cùng các dạng bài tập về căn bậc 2 và bậc 3. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại các dạng toán về căn bậc 2 và căn bậc 3 thường gặp để các em có thể nắm vững nội dung này.

Bạn đang xem bài: Các dạng toán về căn bậc 2, căn bậc 3 và cách giải – toán lớp 9

A. Kiến thức cần nhớ về căn bậc 2 căn bậc 3

I. Căn bậc 2

1. Căn bậc 2 là gì?

– Định nghĩa: Căn bậc hai của 1 số không âm a là số x sao cho x² = a.

– Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là 1624346360yloj1g4a0l 1624354646 , số âm kí hiệu là 1624346360gg1skyni5u 1624354646 .

– Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 1624346361m89hycyeu3 1624354646

– Với số dương a, số 1624346360yloj1g4a0l 1624354646 là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 0.

2. Tính chất của căn thức bậc 2

a) có nghĩa khi A ≥0.

b) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{A^{2}}=left | A ight |=left{egin{matrix} A,(Ageq 0) -A,(A< 0) end{matrix} ight.$

c) 1624346362d8oyzp5l7p 1624354648

d) $small sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}},(Ageq 0,B> 0)$

3. Các phép biến đổi căn thức bậc 2 cơ bản

a) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{A^{2}B}=left | A ight |sqrt{B},(Bgeq 0)$

• $small Ageq 0:A.sqrt{B}=sqrt{A^{2}B}$

• $small A< 0:A.sqrt{B}=-sqrt{A^{2}B}$

b) $small sqrt{frac{A}{B}}=sqrt{frac{AB}{B^{2}}}=frac{1}{left | B ight |}sqrt{AB},$ 1624346363m19z511wdm 1624354649

c) $small frac{A}{sqrt{B}}=frac{Asqrt{B}}{B},(B> 0)$

d) $small frac{1}{sqrt{A}pm sqrt{B}}=frac{sqrt{A}mp sqrt{B}}{A-B},$

e) $small A+Bpm 2sqrt{AB}=(sqrt{A}pm sqrt{B})^{2},$ 1624346365oe5z15gofs 1624354651

f) $small A+B^{2}pm 2Bsqrt{A}=(sqrt{A}pm B)^{2},$

II. Căn bậc 3

1. Căn bậc là gì?

– Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a.

2. Tính chất của căn bậc 3

– Mọi số a đề có duy nhất một căn bậc 3.

• 16243463656y3b4bhqyp 1624354651

•

• $small sqrt[3]{frac{A}{B}}=frac{sqrt[3]{A}}{sqrt[3]{B}},(B eq 0)$

hayhochoi

B. Các dạng toán về căn bậc 2 căn bậc 3

• Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa

* Phương pháp

có nghĩa khi A ≥0.

$frac{1}{sqrt{A}}$ có nghĩa khi A>0

– Giải bất phương trình để tìm giá trị của biến

Ví dụ: Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa

1. 1624346367729oe0hk84 1624354653

* Hướng dẫn: 1624346367729oe0hk84 1624354653 có nghĩa khi (5-2x)≥0

⇔ 5 ≥ 2x ⇔ x ≤ $frac{5}{2}$

* Hướng dẫn: có nghĩa khi (3x-12)≥0

⇔ 3x ≥ 12 ⇔ x ≥ 4

3. $sqrt{frac{2}{x^{2}}}$

* Hướng dẫn: $sqrt{frac{2}{x^{2}}}$ có nghĩa khi x² > 0 ⇔ x > 0

4. $sqrt{frac{-1}{3x-6}}$

* Hướng dẫn: căn thức có nghĩa khi $left ( frac{-1}{3x-6} ight )geq 0$

⇔ 3x – 6 < 0 ⇔ x < 2

• Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn thức

* Phương pháp

– Vận dụng hằng đẳng thức để rút gọn: $small sqrt{A^{2}}=left | A ight |=left{egin{matrix} A,(Ageq 0) -A,(A< 0) end{matrix} ight.$

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

1. $sqrt{left ( 2-sqrt{3}^{} ight )^{2}}$

* Hướng dẫn:

– Ta có: $small sqrt{left ( 2-sqrt{3} ight )^{2}}=left | 2-sqrt{3} ight |=2-sqrt{3}$

vì 1624346370ldijivsio1 1624354656

2. $sqrt{left ( 3-sqrt{11}^{} ight )^{2}}$

* Hướng dẫn:

– Ta có: $small sqrt{left ( 3-sqrt{11} ight )^{2}}=left | 3-sqrt{11} ight |=sqrt{11}-3$

– Vì

• Dạng 3: Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức

* Phương pháp

– Vận dụng các phép biến đổi và đặt nhân tử chung

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau

1. 1624354657mm3jnvazhp

* Hướng dẫn:

– Ta có:

= 1624346372wfh2du8k8u 1624354658

1624346372jsj71rw425 1624354658

2. $frac{xsqrt{x}-ysqrt{y}}{sqrt{x}-sqrt{y}} ; xgeq 0;ygeq 0;x eq y$

* Hướng dẫn:

– Ta có: $frac{xsqrt{x}-ysqrt{y}}{sqrt{x}-sqrt{y}} =frac{sqrt{x^{3}}-sqrt{y^{3}}}{sqrt{x}-sqrt{y}}$

$=frac{left ( sqrt{x}-sqrt{y} ight )(sqrt{x^{2}}+sqrt{xy}+sqrt{y^{2}})}{sqrt{x}-sqrt{y}}$

$=sqrt{x^{2}}+sqrt{xy}+sqrt{y^{2}}$

• Dạng 4: Giải phương trình có chứa căn thức

+ Dạng: $small sqrt{A}=BLeftrightarrow A=B^{2}$ (nếu B>0).

+ Dạng: $small sqrt{A}=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B^{2} end{matrix} ight.$ (nếu B là một biểu thức chứa biến)

+ Dạng:

+ Dạng: $small sqrt{A^{2}}=B$ , ta đưa về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: $small sqrt{A^{2}}=B$

° Trường hợp 1: Nếu B là một số dương thì: 16243463750jgyj66f8m 1624354661

° Trường hợp 2: Nế B là một biểu thức chứa biến thì: 1624346375i0p4oedpcz 1624354662

Ví dụ: Giải phương trình sau

1. 1606095372uaoeq3hnmz 1624346375 1624354662

* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 0

– Kết luận: x=4 là nghiệm

2. 16060953732nag2647gp 1624346376 1624354662

* Hướng dẫn: Để căn thức có nghĩa khi x ≥ 1, ta có

16243463766s71glekp2 1624354663

1624346377vkjmmynjgi 1624354663

• Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức

* Phương pháp:

– Thực hiện các phép biến đổi đẳng thức chứa căn bậc 2

– Vận dụng phương pháp chứng minh đẳng thức A = B

+ Chứng minh A = C và B = C

+ Biến đổi A về B hoặc B về A (tức A = B)

* Ví dụ: Chứng minh đẳng thức

1. ${(sqrt{3}-1)^{2}}=4-2sqrt{3}$

* Hướng dẫn:

– Ta có: $VT={(sqrt{3}-1)^{2}}=(sqrt{3})^{2}-2sqrt{3}+(1)^{2}$

= 160609537445lz6oa0ez 1624346377 1624354664

– Vậy ta có điều cần chứng minh

2. 1624354664j5ywf3onrr

* Hướng dẫn:

– Ta có: $sqrt{4-2sqrt{3}}=sqrt{(sqrt{}3)^{2}-2sqrt{3}+(1)^{2}}$

$=sqrt{(sqrt{3}-1)^{2}}=left | sqrt{3}-1 ight |=sqrt{3}-1$

– Thay vào vết trái ta có:

1606095375qjraqgvghs 1624346378 1624354665

– Ta được điều cần chứng minh.

C. Bài tập về Căn bậc 2, Căn bậc 3

* Bài 2 (trang 6 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh:

a) 2 và √3; b) 6 và √41; c) 7 và √47

* Lời giải bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: 2 = √4 mà 4 > 3 ⇒ √4 > √3 (Định lý)

– Kết luận: 1624346379rh0612mgan 1624354665

b) Ta có: 6 = √36 mà 36 < 41 ⇒ √36 < √41

– Kết luận: 16243463794v4bfa06vg 1624354665

c) Ta có: 7 = √49 mà 49 > 47 ⇒ √49 > √47

– Kết luận: 16243463799jo8q7jf5m 1624354665

* Bài 4 (trang 7 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm số x không âm, biết:

a) 16243463799o2dyhsh4l 1624354666 b) 1624346380v5mzauv0yw 1624354666

c) 1624346380m7zu7nk27g 1624354666 d) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{2x}< 4$

* Lời giải bài 4 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1:

– Lưu ý: Vì x không âm (tức là x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.

a) 16243463799o2dyhsh4l 1624354666

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 15² ⇔ x = 225

– Kết luận: x = 225

b) 1624346380v5mzauv0yw 1624354666 ⇔ 1624346381il61k1n6pz 1624354667

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x = 7² ⇔ x = 49

– Kết luận: x = 49

c) 1624346380m7zu7nk27g 1624354666

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2

– Kết luận: 0 ≤ x < 2

d) $small dpi{100} fn_cm small sqrt{2x}< 4$

– Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: 2x < 16 ⇔ x < 8

– Kết luận: 0 ≤ x < 8

* Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $small sqrt{frac{a}{3}}$ b) 1624346382mhh0adsoy0 1624354668 c) 1624346382kkwt2h66e9 1624354669 d) 16243463837u7tsc3i7o 1624354669

* Lời giải bài 6 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Điều kiện xác định cả $small sqrt{frac{a}{3}}$ là $small frac{a}{3}geq 0Leftrightarrow ageq 0$

b) Tương tự: -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0

c) Tương tự: 4 – a ≥ 0 ⇔ -a ≥ -4 = > a ≤ 4

d) Tương tự: 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ -7/3.

* Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Tính:

a) $small sqrt{left (0,1 ight )^{2}}$ b) $small sqrt{left (-0,3 ight )^{2}}$ c) $small -sqrt{left (-1,3 ight )^{2}}$ d) $small -0,4sqrt{left (-0,4 ight )^{2}}$

* Lời giải bài 7 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: $small sqrt{(0,1)^{2}}=left | 0,1 ight |=0,1$ $small sqrt{left (0,1 ight )^{2}}$

b) Ta có: $small small sqrt{left (-0,3 ight )^{2}}=left | -0,3 ight |=0,3$

c) Ta có: $small -sqrt{left (-1,3 ight )^{2}}$

d) Ta có: $small -0,4sqrt{left (-0,4 ight )^{2}}$ 1624346386m21aetupvk 1624354673

* Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a) $small sqrt{left (2-sqrt{3} ight )^{2}}$ b) $small sqrt{left (3-sqrt{11} ight )^{2}}$

c) $small 2sqrt{a^{2}}$ với a≥0. d) $small 3sqrt{(a-2)^{2}}$ với a<2.

* Lời giải bài 8 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:

a) $small sqrt{left (2-sqrt{3} ight )^{2}}$ 1624346388gcjcnra3be 1624354674 (vì 1624346388upmekzvbbr 1624354674 do 1624346389pql88m2hc6 1624354675 )

b) $small sqrt{left (3-sqrt{11} ight )^{2}}$ 1624346389a97ikc2rpd 1624354675 (vì √11 – 3 > 0 do 3 = √9 mà √11 > √9)

c) 2√a² = 2|a| = 2a với a ≥ 0

d) $small 3sqrt{(a-2)^{2}}$ 16243463908g12bia9su 1624354676 (vì a < 2 nên 2 – a > 0)

* Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x biết:

a) $small sqrt{x^{2}}=7$ b) $small sqrt{x^{2}}=left | -8 ight |$ c) $small sqrt{4x^{2}}=16$ d) $small sqrt{9x^{2}}=left |-12 ight |$

* Lời giải bài 9 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) $small sqrt{x^{2}}=7Leftrightarrow left | x ight |=7$ 1624346391snsovi0gf7 1624354677

b) $small sqrt{x^{2}}=left | -8 ight |Leftrightarrow sqrt{x^{2}}=8$ 1624346392m0pn785fn5 1624354678

c) $small sqrt{4x^{2}}=6Leftrightarrow small sqrt{left (2x ight )^{2}}=6$ 1624346392qmz0q9meof 1624354679 1624346393sujkadjiu2 1624354679

d) $small sqrt{9x^{2}}=left | -12 ight |Leftrightarrow sqrt{(3x)^{2}}=12$ 1624346393myan7kaucg 1624354679

* Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Chứng minh:

a) $small left ( sqrt{3}-1 ight )^{2}=4-2sqrt{3}$

b) 16243463946fdtdb6qrg 1624354680

* Lời giải bài 10 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: VT = (√3 – 1)² = (√3)² – 2√3 + 1 = 3 – 2√3 + 1 = 4 – 2√3 = VP

⇒ (√3 – 1)² = 4 – 2√3 (đpcm)

b) Ta có: 162434639415qf0audzc 1624354680 $small =sqrt{(sqrt{3})^{2}-2sqrt{3}+1^{2}}-sqrt{3}$

$small =sqrt{(sqrt{3}-1)^{2}}-sqrt{3}$ 1624346395lonknh6ksg 1624354681 = VP (đpcm).

* Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1): Phân tích thành nhân tử:

a) x² – 3. b) x² – 6 c) x² + 2√3 x + 3. d) x² – 2√5 x + 5

* Lời giải bài 14 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1:

a) x² – 3 = x² – (√3)² = (x – √3)(x + √3)

b) x² – 6 = x² – (√6)² = (x – √6)(x + √6)

c) x² + 2√3.x + 3 = x² + 2√3.x + (√3)² = (x + √3)²

d) x² – 2√5.x + 5 = x² – 2√5.x + (√5)² = (x – √5)²

* Bài 67 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tìm 16243463969i5r645p97 1624354682 ; 1624346396zj3bjf8r96 1624354682 ; 1624346396gs2ncubkac 1624354682 ; 1624346396zmyu2l1jqm 1624354683 ; 162434639795359skiau 1624354683

* Lời giải bài 67 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{512}=sqrt[3]{8^{3}}=8$

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-729}$ $small =sqrt[3]{(-9)^{3}}=-9$

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{0,064}$ $small =sqrt[3]{left (0,4 ight )^{3}}=0,4$

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-0,216}$ $small =sqrt[3]{left (-0,6 ight )^{3}}=-0,6$

– Ta có: $small dpi{100} fn_cm small sqrt[3]{-0,008}$ $small =sqrt[3]{(-0,2)^{3}}=-0,2$

* Lưu ý: Bạn có thể tìm các căn bậc ba ở trên bằng máy tính bỏ túi và ghi nhớ một số lũy thừa bậc 3 của các số < 10: 2³ = 8; 3³ = 27; 4³ = 64; 5³ = 125; 6³ = 216; 7³ = 343; 8³ = 512; 9³ = 729;

* Bài 68 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): Tính

a) 1624346399na7d2lfwf9 1624354686

b) $small frac{sqrt[3]{135}}{sqrt[3]{5}}-sqrt[3]{54}.sqrt[3]{4}$

* Lời giải bài 68 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

a) 1624346399na7d2lfwf9 1624354686 $small =sqrt[3]{3^{3}}-sqrt[3]{(-2)^{3}}-sqrt[3]{5^{3}}$ 1624346400biwn7wgytz 1624354687

b) $small frac{sqrt[3]{135}}{sqrt[3]{5}}-sqrt[3]{54}.sqrt[3]{4}$ $small = sqrt[3]{frac{135}{5}}-sqrt[3]{54.5}$ 16243464011lkgn4lm52 1624354687 $small =sqrt[3]{3^{3}}-sqrt[3]{6^{3}}=3-6=-3$

* Bài 69 (trang 36 SGK Toán 9 Tập 1): So sánh

a) 5 và ∛123. b) 5∛6 và 6∛5.

* Lời giải bài 69 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1:

a) Ta có: $small 5=sqrt[3]5^{3}{}=sqrt[3]{125}$ > ⇒ 1624346402smz0dhw4or 1624354689

b) Ta có: $small dpi{100} fn_cm small 5sqrt[3]{6}=sqrt[3]{5^{3}.6}=sqrt[3]{125.6}=sqrt[3]{750}$ ; $small 6sqrt[3]{5}=sqrt[3]{6^{3}.5}=sqrt[3]{216.5}=sqrt[3]{1080}$

– Vì 1624346403o8s73f4qi9 1624354689 ⇒ 5∛6 < 6∛5

D. Bài tập luyện tập căn bậc 2 căn bậc 3

Bài tập 1: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

a) 162434640346gzbqqtm8 1624354690 b) 16243464043n70ayu6hr 1624354690

c) 1624346404pci3hubowj 1624354690 d)

Bài tập 2: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

a) $small sqrt{frac{1}{3-2x}}$ b) $small sqrt{frac{2}{2x+5}}$ c) $small sqrt{frac{-3}{x+2}}$

Bài tập 3: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

a) $small sqrt{9x^{2}-6x+1}$ b) $small sqrt{-x^{2}+2x-1}$

c) d) $small sqrt{9-x^{2}}$

e) $small sqrt{x^{2}-2x-3}$ f)

g) $small frac{1}{sqrt{x+2sqrt{x-1}}}$ h) $small frac{-1}{sqrt{9-12x+4x^{2}}}$

Bài tập 4: Thực hiện các phép tính sau

a) $small sqrt{({2sqrt{2}-3})^{2}}$ b) $small sqrt{left ( frac{1}{2}-frac{1}{sqrt{2}} ight )^{2}}$

c) $small sqrt{(5-2sqrt{6})^{2}}-sqrt{(5+2sqrt{6})^{2}}$

Bài tập 5: Rút gọn các biểu thức sau

a) $small x+3+sqrt{x^{2}-6x+9},(xleq 3)$

b) $small sqrt{x^{2}+4x+4}-sqrt{x^{2}}$ , 16243464098nvl7boe65 1624354695

c) $small frac{sqrt{x^{2}-2x+1}}{x-1},x> 1$

d) $small left | x-2 ight |+frac{sqrt{x^{2}-4x+4}}{x-2},x< 2$

Bài tập 6: Giải các phương trình sau

a) $small sqrt{(x-3)^{2}}=3-x$

b) 16243464106kchfk55y1 1624354697

c) 16243464103puh9z2e73 1624354697

d) $small sqrt{2x^{2}-3}=sqrt{4x-3}$

e) $small sqrt{x^{2}-x}=sqrt{3x-5}$

f) $small sqrt{x^{4}-2x^{2}+1}=x-1$

g) 1624346411sive7df4vf 1624354698

h) $small left | x^{2}-3 ight |=left | x-sqrt{3} ight |$

i) $small left | x^{2}-1 ight |+left | x+1 ight |=0$

k) $small sqrt{x^{2}-4}+sqrt{x^{2}+4x+4}=0$

* Đáp số: a) x≤3; b) x=2; c) x≥2; d) x=2; e) vô nghiệm;

f) x=1; g) x=0; x=-1/2; h) x=√3; x=-1-√3; i) x=-1; k) x-2;

Hy vọng với bài viết về các dạng toán căn bậc 2 căn bậc 3 và bài tập vận dụng ở trên hữu ích với các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để thầy cô trường THPT Thành phố Sóc Trăng ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Bản quyền bài viết thuộc Trường Trung Cấp Nghề Thương Mại Du Lịch Thanh Hoá. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: https://tmdl.edu.vn/cac-dang-toan-ve-can-bac-2-can-bac-3-va-cach-giai/

Trang chủ: tmdl.edu.vn
Danh mục bài: Giáo dục

Lương Sinh16 Tháng Hai, 2023